peran gravitasi dalam gerak pendulum

peran gravitasi dalam gerak pendulum

  Mei 26, 2025    wahyu nurudin

---

 Dalam kenyataan, gaya gravitasi adalah penyebab utama gerakan pendulum. Untuk memodelkan pendulum yang lebih realistis, kita mempertimbangkan efek gravitasi dalam persamaan gerak, dengan asumsi bahwa tidak ada gaya lain yang memengaruhi (seperti gesekan atau resistansi udara).

1. Pendulum Ideal dengan Gaya Gravitasi

Pendulum ideal digerakkan oleh komponen gaya gravitasi yang sejajar dengan lintasan lengkungnya. Persamaan gerak pendulum ini diberikan oleh hukum kedua Newton dalam koordinat sudut:

$$\tau = I \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

Di mana:

• $\tau = -mgL\sin\theta$: Torsi akibat gravitasi.

• $I = mL^2$: Momen inersia untuk pendulum sederhana.

• $\theta$: Sudut simpangan dari posisi vertikal.

• $t$: Waktu.

Substitusi $\tau$ dan $I$ menghasilkan persamaan diferensial:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$$

---

2. Pendekatan Linier (Small-Angle Approximation)

Untuk simpangan kecil ($\theta \ll 1$), kita dapat menggunakan pendekatan $\sin\theta \approx \theta$. Ini menyederhanakan persamaan menjadi:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0$$

Persamaan ini adalah persamaan gerak harmonik sederhana, dengan solusi:

$$\theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} t\right)$$

Di mana:

• $\theta_0$: Amplitudo awal (simpangan awal).

• $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$: Frekuensi sudut.

Dalam pendekatan linier, amplitudo tetap konstan, sehingga:

$$\frac{\theta_{\text{kedua}}}{\theta_0} = 1$$

---

3. Pendekatan Non-Linier

Jika simpangan besar ($\sin\theta$ tidak dapat diaproksimasi sebagai $\theta$), maka solusi persamaan menjadi lebih kompleks dan melibatkan fungsi eliptik lengkap. Dalam kasus ideal tanpa kehilangan energi:

• Amplitudo tetap konstan.

• Namun, periode osilasi menjadi bergantung pada amplitudo awal, berbeda dari kasus linier.

---

4. Pendulum dengan Gesekan

Dalam kenyataan, ada gaya lain seperti gesekan pada poros dan resistansi udara. Ini menyebabkan energi mekanik total berkurang secara bertahap, sehingga amplitudo menurun dari waktu ke waktu.

Persamaan geraknya menjadi:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \gamma \frac{d\theta}{dt} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$$

Di mana:

• $\gamma$: Koefisien gesekan atau redaman.

Solusi untuk kasus ini menunjukkan bahwa amplitudo $A$ menurun secara eksponensial:

$$A(t) = A_0 e^{-\frac{\gamma}{2} t}$$

• Amplitudo menurun dengan waktu, tergantung pada kekuatan redaman ($\gamma$).

• Dalam satu ayunan ke ayunan berikutnya, amplitudo berkurang menjadi $A_{\text{kedua}} = A_0 e^{-\frac{\gamma}{2} T}$, di mana $T$ adalah periode osilasi.

---

Kesimpulan

• Dalam kasus ideal (tanpa gesekan), amplitudo tetap konstan, dan perbandingan simpangan kedua terhadap simpangan awal adalah $1$.

• Dalam kenyataan, gesekan menyebabkan amplitudo berkurang setiap siklus. Amplitudo kedua relatif terhadap amplitudo awal bergantung pada faktor redaman dan waktu osilasi. Dengan memasukkan gravitasi, pendulum tetap berosilasi, tetapi gerakannya tidak lagi sempurna jika faktor lain diperhitungkan.