Perkalian akar tidak berlaku pada bilangan negatif
untuk bilangan negatif \(a\) dan \(b\), berlaku bahwa \(\sqrt{ab} \neq \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Ini terjadi karena **aturan aritmetika bilangan kompleks dan imajiner** berbeda dengan bilangan real. Mari kita lihat alasannya:
### 1. Aturan di Bilangan Real:
Untuk bilangan real positif, ada aturan bahwa:
\[
\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
\]
Ini benar hanya jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan positif. Namun, jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan negatif, aturan ini tidak berlaku lagi.
### 2. Bilangan Negatif dan Bilangan Imajiner:
Bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real, karena tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Jadi, akar kuadrat dari bilangan negatif didefinisikan menggunakan **bilangan imajiner**.
Sebagai contoh:
\[
\sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i
\]
di mana \(i\) adalah bilangan imajiner yang memenuhi \(i^2 = -1\).
### 3. Mengapa \(\sqrt{ab} \neq \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) untuk bilangan negatif:
Misalkan kita punya dua bilangan negatif, \(a = -1\) dan \(b = -1\).
Jika kita menggunakan rumus yang salah, kita akan mendapat:
\[
\sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1
\]
Namun, jika kita coba untuk memisahkan akar seperti pada bilangan positif:
\[
\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = -1
\]
Kita mendapat dua hasil yang berbeda: 1 di satu sisi dan -1 di sisi lain, yang jelas-jelas salah.
### 4. Kesimpulan:
Rumus \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) **tidak berlaku untuk bilangan negatif** karena saat kita melibatkan bilangan imajiner, hasil dari operasi akar menjadi tidak konsisten dengan aturan operasi yang berlaku untuk bilangan real. Ini terutama terkait dengan sifat bilangan imajiner dan cara akar bilangan negatif harus diperlakukan secara berbeda.
0 komentar:
Posting Komentar