Fungsi linear yang meningkat perperiode

Fungsi linear yang meningkat perperiode

  Mei 29, 2025    wahyu nurudin

---

 Misalkan ada fungsi begini: pada 0=< x =< 90, f(x) = x. Pada 91 <= x =< 180 f(x)= 1.2x. pada 181 =< x =< 270, f(x)= 1.4x. begitu seterusnya. Setiap x mencapai kelipatan 90, f(x) naik 0.2 dimulai dari 1x. Bagaimana merumuskan fungsi di atas secara umum untuk semua x?

Jawab:

Untuk merumuskan fungsi $f(x)$ secara umum untuk semua $x$, kita perlu menentukan pola yang berlaku pada setiap interval. Berdasarkan deskripsi, nilai $f(x)$ bertambah 0.2 kali $x$ setiap kali $x$ melewati kelipatan 90. Berikut adalah langkah-langkah merumuskannya:

---

1. Identifikasi Interval

Fungsi $f(x)$ berubah berdasarkan interval $x$:

• Pada $0 \leq x \leq 90$: $f(x) = x$.

• Pada $91 \leq x \leq 180$: $f(x) = 1.2x$.

• Pada $181 \leq x \leq 270$: $f(x) = 1.4x$.

• Begitu seterusnya, dengan koefisien $1 + 0.2n$, di mana $n$ adalah bilangan bulat yang dihitung berdasarkan posisi $x$ pada interval 90.

---

2. Cari Nilai $n$ untuk Interval

Nilai $n$ dapat diperoleh dengan menggunakan pembagian $x$ terhadap 90:

$$n = \lfloor \frac{x}{90} \rfloor$$

Di mana:

• $\lfloor y \rfloor$ adalah fungsi lantai (floor function), yang memberikan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan $y$.

• Nilai $n$ dimulai dari $0$ untuk $0 \leq x < 90$, $1$ untuk $90 \leq x < 180$, $2$ untuk $180 \leq x < 270$, dan seterusnya.

---

3. Rumus Umum $f(x)$

Fungsi $f(x)$ secara umum dapat dirumuskan sebagai:

$$f(x) = (1 + 0.2n) \cdot x$$

Dengan:

$$n = \lfloor \frac{x}{90} \rfloor$$

---

4. Penjelasan

• Koefisien $(1 + 0.2n)$: Ini mencerminkan kenaikan sebesar 0.2 setiap kali $x$ melewati kelipatan 90.

• Fungsi Lantai: Memastikan nilai $n$ berubah secara diskrit hanya pada batas interval.

---

Contoh Perhitungan

1. Untuk $x = 45$ (di interval $0 \leq x < 90$):

   $$n = \lfloor \frac{45}{90} \rfloor = 0, \quad f(x) = (1 + 0.2 \cdot 0) \cdot 45 = 45.$$

2. Untuk $x = 150$ (di interval $90 \leq x < 180$):

   $$n = \lfloor \frac{150}{90} \rfloor = 1, \quad f(x) = (1 + 0.2 \cdot 1) \cdot 150 = 1.2 \cdot 150 = 180.$$

3. Untuk $x = 250$ (di interval $180 \leq x < 270$):

   $$n = \lfloor \frac{250}{90} \rfloor = 2, \quad f(x) = (1 + 0.2 \cdot 2) \cdot 250 = 1.4 \cdot 250 = 350.$$

---

Dengan rumus ini, Anda dapat menghitung $f(x)$ untuk semua $x$ dalam domain yang diberikan. 🎯