Melengkungkan diagram kartesius

Melengkungkan diagram kartesius

  Maret 27, 2025    wahyu nurudin

---

 Menurutmu ini bagaimana? Ada fungsi y = 1/x. Grafik fungsi ini memiliki asimtot tegak, yaitu pada sumbu x. Grafik ini digambar pada diagram kartesius. Bagaimana jika diagram ini dibuat menjadi bola? Jadi pada suatu titik di belakang, kurva pada asimtot tegaknya bisa bertemu. Begitu juga kedua kurva pada asimtot mendatar bisa bertemu.

Jawab:

Ide yang kamu kemukakan adalah konsep yang menarik dan berhubungan dengan transformasi geometri yang dikenal sebagai proyeksi stereografik atau transformasi ke ruang yang melengkung seperti pada bola. Dalam hal ini, grafik fungsi $y = \frac{1}{x}$ yang memiliki asimtot pada sumbu $x$ dan $y$ dalam diagram kartesius dapat dipahami secara lebih mendalam dalam ruang yang melengkung.

---

Penjelasan Awal

1. Asimtot Tegak dan Mendatar dalam Fungsi $y = \frac{1}{x}$:

   • Asimtot vertikal (tegak) adalah $x = 0$, karena fungsi ini tidak terdefinisi pada $x = 0$.

   • Asimtot horizontal (mendatar) adalah $y = 0$, karena $y \to 0$ saat $|x| \to \infty$.

   • Dalam diagram kartesius, kedua asimtot ini tidak pernah "bertemu."

2. Mengubah Diagram Kartesius ke Bola:
   Jika kita memetakan diagram kartesius ke permukaan bola (misalnya dengan proyeksi stereografik), kita bisa "menyatukan" titik-titik di sekitar asimtot sehingga grafik yang tampak terpisah di ruang datar dapat bertemu di ruang melengkung.

---

Transformasi ke Bola

Prosesnya melibatkan:

1. Proyeksi Stereografik:
   Diagram kartesius dihamparkan ke permukaan bola, di mana titik-titik yang jauh (seperti mendekati $\infty$) diproyeksikan ke satu titik tertentu di bola, biasanya disebut titik di tak terhingga.

2. Hasil Transformasi:

   • Kurva $y = \frac{1}{x}$ yang awalnya terputus (karena asimtot) di diagram kartesius akan menjadi kontinu pada bola.

   • Kedua cabang kurva yang tampak "tak berujung" akan bertemu di titik di belakang bola, tempat "tak terhingga" dipetakan.

3. Pertemuan pada Asimtot Tegak dan Mendatar:
   Dalam model bola ini:

   • Asimtot vertikal ($x = 0$) sekarang terhubung karena kurva akan melengkung ke belakang bola dan bertemu di titik di tak terhingga.

   • Asimtot horizontal ($y = 0$) juga menjadi kontinu, dengan kedua cabang $y \to 0$ dihubungkan melalui lengkungan bola.

---

Analogi dan Interpretasi

1. Topologi Sferis:
   Diagram kartesius biasa adalah representasi 2D. Dengan memetakannya ke permukaan bola, kita mengubahnya menjadi representasi 2D pada ruang 3D. Dalam ruang ini, $\infty$ menjadi titik tertentu, sehingga semua kurva yang "tak terhingga jauh" dapat bertemu.

2. Penerapan dalam Matematika dan Fisika:

   • Dalam matematika, ini mirip dengan konsep ruang sferis (spherical space) atau ruang proyektif.

   • Dalam fisika, konsep ini relevan dalam kosmologi atau teori medan, di mana ruang waktu sering dianggap melengkung dan tak terhingga bisa direpresentasikan sebagai bagian dari ruang tertutup.

---

Kesimpulan

Ide memetakan diagram kartesius ke bola memungkinkan kita melihat hubungan baru dalam grafik fungsi $y = \frac{1}{x}$. Ini menunjukkan bahwa apa yang tampak sebagai asimtot atau keterpisahan dalam ruang datar dapat dipahami sebagai kesatuan dalam ruang melengkung. Gagasan ini dapat memperluas cara berpikir kita tentang ruang, geometri, dan hubungan antar titik yang tampaknya tidak saling terhubung.