Pembuktian perkalian beruntun menghasilkan penjumlahan beruntun
Buktikan bahwa (1+x) (1+x^2) (1+x^4) ... (1+x^1024) = 1 +x + x^2 + x^3 + ... + x^2047!
Jawab:
Mari kita buktikan persamaan berikut:
\[
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \cdots (1 + x^{1024}) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{2047}.
\]
### 1. Bentuk Polinomial
Misalkan \( P(x) = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \cdots (1 + x^{1024}) \). Polinomial ini terdiri dari hasil kali \( 11 \) faktor (karena \( 1024 = 2^{10} \)).
Ketika kita mengalikan setiap faktor \( (1 + x^{2^k}) \), setiap suku di \( P(x) \) adalah hasil penjumlahan semua kemungkinan produk, yaitu:
\[
P(x) = \sum_{i=0}^{2047} x^i.
\]
Ini karena eksponen \( i \) berasal dari setiap kombinasi pengambilan \( x^{2^k} \) atau \( 1 \) dari setiap faktor \( (1 + x^{2^k}) \). Secara eksplisit, \( i \) mencakup semua bilangan bulat dari \( 0 \) hingga \( 2047 \) dalam basis 2.
### 2. Banyaknya Suku dalam \( P(x) \)
Setiap eksponen \( i \) dalam \( x^i \) berasal dari jumlah semua pilihan:
\[
i = a_0 \cdot 2^0 + a_1 \cdot 2^1 + a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_{10} \cdot 2^{10},
\]
dengan \( a_k \in \{0, 1\} \). Kombinasi ini menghasilkan semua bilangan dari \( 0 \) hingga \( 2^{11} - 1 = 2047 \), yang sesuai dengan suku \( x^0, x^1, \ldots, x^{2047} \).
### 3. Penjumlahan Geometri
Hasil akhirnya adalah deret geometri:
\[
P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{2047}.
\]
Karena ini adalah deret geometri dengan rasio \( x \) dan \( n = 2048 \) suku, maka dapat dinyatakan sebagai:
\[
P(x) = \frac{1 - x^{2048}}{1 - x},
\]
untuk \( |x| < 1 \). Karena \( x^{2048} = 0 \) untuk \( i > 2047 \), maka:
\[
P(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{2047}.
\]
### 4. Kesimpulan
Dengan demikian, terbukti bahwa:
\[
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \cdots (1 + x^{1024}) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{2047}.
\]
0 komentar:
Posting Komentar