Rumus keliling elips
Rumus keliling elips tidak memiliki bentuk tertutup yang sederhana seperti lingkaran, tetapi dapat dihitung menggunakan pendekatan. Untuk elips dengan sumbu panjang \(a\) dan sumbu pendek \(b\), berikut adalah beberapa metode untuk menghitung kelilingnya:
### 1. **Pendekatan Ramanujan (Akurasi Tinggi):**
Pendekatan yang sering digunakan adalah rumus dari **Srinivasa Ramanujan**:
\[
K \approx \pi \left( 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right)
\]
### 2. **Pendekatan Lebih Akurat dari Ramanujan:**
Ramanujan juga memberikan formula yang lebih akurat:
\[
K \approx \pi \left( a + b \right) \left( 1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}} \right)
\]
Di mana:
\[
h = \frac{(a - b)^2}{(a + b)^2}
\]
### 3. **Integral Elips Lengkap (Rumus Eksak):**
Keliling elips dapat dihitung dengan integral berikut:
\[
K = 4a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta} \, d\theta
\]
Di mana eksentrisitas \(e\) adalah:
\[
e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}
\]
Namun, integral ini memerlukan fungsi eliptik lengkap dari jenis kedua (\(E(e)\)):
\[
K = 4a E(e)
\]
Fungsi ini biasanya dihitung dengan bantuan kalkulator atau perangkat lunak matematika.
### 4. **Pendekatan Kasar:**
Untuk perkiraan sederhana:
\[
K \approx 2\pi \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}
\]
### Catatan:
- Rumus integral adalah bentuk eksak, tetapi sulit dihitung secara manual.
- Pendekatan Ramanujan sering digunakan karena akurasinya cukup tinggi dan lebih mudah dihitung.
--------------
Mengapa tidak sederhana seperti lingkaran? Bukankah bentuknya mirip? Misalnya π(a+b).
Jawab:
Pertanyaan ini sangat bagus! Walaupun elips terlihat mirip dengan lingkaran, perbedaan utama adalah **proporsi kelengkungan yang bervariasi** sepanjang kelilingnya. Berikut penjelasannya:
### **Lingkaran: Simetri Sempurna**
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, di mana sumbu panjang (\(a\)) sama dengan sumbu pendek (\(b\)). Keliling lingkaran dapat dihitung sederhana dengan rumus:
\[
K = 2\pi r
\]
Hal ini karena kelengkungannya konstan di semua titik.
---
### **Elips: Kelengkungan yang Berbeda**
Pada elips, sumbu panjang (\(a\)) lebih besar daripada sumbu pendek (\(b\)), sehingga kelengkungannya **berbeda di setiap titik**. Di sekitar ujung-ujung sumbu panjang, kurvanya lebih datar, sedangkan di ujung sumbu pendek, kurvanya lebih tajam.
Pendekatan sederhana seperti \(K = \pi (a + b)\) **tidak akurat** karena tidak memperhitungkan perbedaan ini. Contohnya:
- Pada lingkaran, setiap titik memiliki "perjalanan" yang sama.
- Pada elips, titik yang lebih dekat ke sumbu panjang melakukan "perjalanan lebih jauh" dibandingkan titik di dekat sumbu pendek.
---
### **Mengapa Integral Terlibat?**
Keliling elips sebenarnya adalah total panjang dari semua segmen kurva di sepanjang bentuknya. Panjang kurva seperti ini dihitung dengan integral, yaitu:
\[
K = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta
\]
Untuk elips dengan persamaan parametrik:
\[
x = a \cos\theta, \quad y = b \sin\theta
\]
Integral ini menjadi cukup rumit karena harus memperhitungkan perbedaan antara \(a\) dan \(b\), yang menghasilkan faktor eksentrisitas.
---
### **Kenapa Rumus \( \pi(a + b) \) Tidak Akurat?**
Rumus ini **terlalu sederhana** dan mengabaikan perubahan kelengkungan. Untuk elips dengan \(a = 10\) dan \(b = 5\), misalnya:
- Pendekatan \( \pi(a + b) \) memberikan \( \pi(10 + 5) = 47,12 \).
- Namun, nilai yang lebih akurat (menggunakan rumus Ramanujan) adalah sekitar **48,44**.
Selisih ini menjadi lebih besar jika \(a\) dan \(b\) semakin berbeda.
---
### Kesimpulan
Elips tidak sesederhana lingkaran karena bentuknya tidak memiliki simetri sempurna, sehingga kelilingnya bergantung pada perubahan kelengkungan di seluruh lintasan. Itulah sebabnya kita membutuhkan rumus lebih kompleks untuk menghitungnya dengan tepat.
0 komentar:
Posting Komentar