Perkalian vektor

Perkalian vektor

  Oktober 22, 2024    wahyu nurudin

---

 Perkalian vektor dengan vektor dalam matematika dan fisika dapat dilakukan melalui dua jenis perkalian: **perkalian titik (dot product)** dan **perkalian silang (cross product)**. Kedua jenis perkalian ini memiliki proses dan hasil yang berbeda:

### 1. **Perkalian Titik (Dot Product)**

Perkalian titik adalah operasi yang menghasilkan skalar dari dua vektor. Ini dihitung dengan cara mengalikan komponen-komponen yang sesuai dari kedua vektor dan menjumlahkan hasilnya. Jika \( \vec{A} = (A_x, A_y, A_z) \) dan \( \vec{B} = (B_x, B_y, B_z) \), maka perkalian titik didefinisikan sebagai:

\[

\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

\]

**Interpretasi Geometris:** Perkalian titik juga bisa didefinisikan sebagai hasil kali panjang (magnitude) kedua vektor dan kosinus sudut di antara mereka:

\[

\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta)

\]

di mana \( \theta \) adalah sudut antara kedua vektor. Nilainya adalah skalar yang menunjukkan seberapa besar proyeksi satu vektor ke arah vektor lainnya.

**Aplikasi:** Perkalian titik sering digunakan untuk menghitung sudut antara dua vektor dan dalam fisika, untuk menghitung kerja yang dilakukan gaya terhadap perpindahan.

### 2. **Perkalian Silang (Cross Product)**

Perkalian silang adalah operasi yang menghasilkan vektor baru dari dua vektor. Jika \( \vec{A} = (A_x, A_y, A_z) \) dan \( \vec{B} = (B_x, B_y, B_z) \), perkalian silang didefinisikan sebagai:

\[

\vec{A} \times \vec{B} = (A_yB_z - A_zB_y) \hat{i} + (A_zB_x - A_xB_z) \hat{j} + (A_xB_y - A_yB_x) \hat{k}

\]

**Interpretasi Geometris:** Perkalian silang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor. Besarnya ditentukan oleh:

\[

|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin(\theta)

\]

di mana \( \theta \) adalah sudut antara kedua vektor, dan arah hasilnya dapat ditentukan menggunakan aturan tangan kanan.

**Aplikasi:** Perkalian silang digunakan dalam fisika untuk menghitung momen gaya (torque) dan dalam elektromagnetisme untuk menentukan arah gaya magnetik pada partikel bermuatan.

### Perbedaan Utama:

- **Hasil Perkalian Titik:** Skalar

- **Hasil Perkalian Silang:** Vektor

Kedua jenis perkalian ini penting dalam analisis vektor, terutama dalam bidang seperti mekanika klasik, elektrodinamika, dan komputasi grafis.