Persamaan diferensial bernoulli
Ada versi **persamaan Bernoulli** yang berbentuk **persamaan diferensial** dan digunakan dalam berbagai konteks. Persamaan diferensial Bernoulli adalah bentuk yang lebih umum dari persamaan diferensial biasa (ODE), tetapi **tidak sama** dengan persamaan Bernoulli dalam mekanika fluida yang sering dikenal.
Mari kita jelaskan versi yang berbeda ini:
### 1. **Persamaan Diferensial Bernoulli (ODE)**
**Persamaan diferensial Bernoulli** adalah persamaan diferensial biasa (ODE) yang berbentuk:
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) y^n
\]
Di mana:
- \( y(x) \) = fungsi tak dikenal yang merupakan solusi
- \( P(x) \) dan \( Q(x) \) = fungsi dari \( x \)
- \( n \) adalah konstanta (biasanya bilangan real)
Jika \( n = 1 \), persamaan ini menjadi persamaan diferensial linier yang bisa diselesaikan dengan metode standar persamaan diferensial linier. Tetapi jika \( n \neq 1 \), persamaan ini **tidak linier**, dan harus diselesaikan dengan metode khusus.
### Metode Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli, langkah-langkah yang digunakan adalah:
1. Membuat **substitusi** \( v = y^{1-n} \), yang mengubah persamaan ini menjadi bentuk linier.
2. Menerapkan metode penyelesaian untuk persamaan diferensial linier.
### Contoh Penyelesaian:
Misalkan kita punya persamaan diferensial Bernoulli:
\[
\frac{dy}{dx} + 2y = 3y^2
\]
Ini adalah bentuk standar dengan \( P(x) = 2 \), \( Q(x) = 3 \), dan \( n = 2 \). Kita substitusi \( v = y^{1-2} = y^{-1} \), sehingga:
\[
\frac{dv}{dx} - 2v = -3
\]
Ini adalah persamaan diferensial linier yang bisa diselesaikan dengan metode faktor integrasi.
---
### 2. **Persamaan Bernoulli dalam Mekanika Fluida sebagai PDE**
Ada juga persamaan Bernoulli dalam **mekanika fluida** yang berbentuk **persamaan diferensial parsial (PDE)**. Ini digunakan untuk memodelkan dinamika fluida dengan lebih mendetail dan kompleks dibandingkan versi sederhana dari persamaan Bernoulli yang lebih umum dikenal. Persamaan ini muncul dalam **persamaan Euler** dan **persamaan Navier-Stokes**, yang keduanya merupakan bentuk lanjutan dari hukum kekekalan momentum untuk fluida.
Versi PDE dari persamaan Bernoulli biasanya merupakan gabungan dari persamaan Euler untuk fluida tak termampatkan dan prinsip kekekalan massa serta momentum.
#### Persamaan Euler untuk Fluida Ideal (PDE):
Persamaan Euler menggambarkan aliran fluida ideal (tak termampatkan dan tanpa viskositas) sebagai:
\[
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \rho \mathbf{g}
\]
Di mana:
- \( \rho \) = densitas fluida
- \( \mathbf{v} \) = vektor kecepatan fluida
- \( p \) = tekanan fluida
- \( \mathbf{g} \) = percepatan gravitasi
Ini adalah bentuk persamaan diferensial parsial yang mengatur dinamika fluida. Dengan asumsi fluida ideal, persamaan ini bisa disederhanakan dan menghasilkan persamaan Bernoulli dalam bentuk integral yang lebih sederhana.
#### Persamaan Navier-Stokes (PDE):
Jika kita memperhitungkan viskositas, maka kita menggunakan **persamaan Navier-Stokes**, yang merupakan bentuk lebih lengkap dari persamaan Euler. Persamaan ini memberikan gambaran yang lebih akurat tentang aliran fluida:
\[
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}
\]
Di sini, ada tambahan istilah viskositas \( \mu \nabla^2 \mathbf{v} \), yang merepresentasikan gaya gesekan dalam fluida.
---
### Hubungan Persamaan Bernoulli dan Persamaan Diferensial Parsial (PDE):
- **Persamaan Bernoulli sederhana (dalam bentuk aliran fluida)**, sering kali dapat dianggap sebagai hasil dari **persamaan Euler** atau **Navier-Stokes** dalam fluida, tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.
- **Persamaan diferensial Bernoulli** dalam konteks ODE, merupakan masalah non-linier yang sering muncul dalam pemodelan berbagai proses alamiah dan fisika, termasuk dinamika fluida, transfer panas, dan reaksi kimia.
---
### Kesimpulan:
- **Persamaan diferensial Bernoulli (ODE)** adalah persamaan diferensial non-linier yang dapat diubah menjadi bentuk linier melalui substitusi.
- **Persamaan Bernoulli dalam mekanika fluida** bisa diperluas menjadi bentuk PDE yang lebih kompleks, seperti persamaan Euler dan Navier-Stokes, yang digunakan untuk memodelkan aliran fluida yang lebih realistis.
0 komentar:
Posting Komentar