Teori ramsey dan bilangan graham
Teori Ramsey adalah cabang dari matematika diskrit yang menyelidiki kondisi yang diperlukan untuk menjamin keberadaan struktur tertentu dalam grafik atau sistem yang cukup besar. Salah satu hasil yang paling terkenal dari teori ini adalah **Teorema Ramsey**, yang secara kasar menyatakan bahwa dalam graf yang cukup besar, pola tertentu akan selalu muncul.
### Teorema Ramsey
Teorema Ramsey menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif \( r \) dan \( s \), ada bilangan bulat \( R(r, s) \) sedemikian sehingga setiap graf lengkap dengan \( R(r, s) \) simpul yang tepi-tepinya diwarnai dengan dua warna (katakanlah merah dan biru), akan berisi klik \( r \)-simpul dari satu warna atau klik \( s \)-simpul dari warna lainnya.
Bilangan \( R(r, s) \) disebut **bilangan Ramsey**. Misalnya, \( R(3, 3) = 6 \) berarti bahwa setiap graf lengkap dengan 6 simpul, yang tepi-tepinya diwarnai dengan dua warna, akan memiliki klik 3-simpul berwarna sama.
### Bilangan Graham
Bilangan Graham muncul dalam konteks tertentu dari masalah Ramsey. Secara khusus, bilangan Graham adalah batas atas untuk kasus tertentu dari teorema Ramsey yang melibatkan hypercube berdimensi tinggi. Masalah ini berkaitan dengan menentukan \( R(4, 4, 4, 4) \), bilangan minimum \( n \) sedemikian rupa sehingga dalam setiap pewarnaan 4-warna dari semua \( n \)-simpul dari graf lengkap, terdapat klik 4-simpul yang seluruhnya berwarna sama.
**Ronald Graham** menetapkan batas atas yang sangat besar untuk masalah ini, yang kemudian dikenal sebagai **bilangan Graham**. Bilangan ini begitu besar sehingga tidak dapat direpresentasikan dengan notasi eksponensial biasa, tetapi harus menggunakan notasi up-arrow Knuth:
\[ G \]
\[ G = \text{g}_64(4) \]
Di mana notasi up-arrow Knuth digunakan sebagai berikut:
\[ a \uparrow b = a^b \]
\[ a \uparrow\uparrow b = a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}} \text{(dengan total b a)} \]
\[ a \uparrow\uparrow\uparrow b = a \uparrow (a \uparrow\uparrow\uparrow (b-1)) \]
\[ \dots \]
Bilangan Graham diperkirakan lebih besar dari banyak bilangan besar lainnya yang dikenal dalam matematika, bahkan lebih besar dari bilangan seperti Googol atau Googolplex.
### Kesimpulan
Bilangan Graham adalah contoh dari batas atas dalam teori Ramsey yang menunjukkan seberapa besar struktur yang diperlukan untuk menjamin pola tertentu muncul dalam graf atau sistem besar. Ini menyoroti kompleksitas dan kedalaman yang luar biasa dalam matematika diskrit dan kombinatorik.
### Referensi
1. [Wikipedia - Graham's Number](https://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_number)
2. [Wikipedia - Ramsey Theory](https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey_theory)
3. [MathWorld - Graham's Number](https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html)
0 komentar:
Posting Komentar